miércoles, 21 de octubre de 2009

ROLAND GARRIDO (Si el tenis fuese póker)


Este es un ejercicio recreativo, aunque tendrá una conclusión curiosa.

Los grand slam de tenis se juegan a eliminación sencilla con 128 jugadores. El que pierda un partido queda eliminado y el vencedor debe ganar en total 7 partidos (ya que 2^7=128.

Cada partido se juega al mejor de 5 sets (avanza el jugador que vence 3 sets). Este esquema que adjunto es la equivalencia en apuestas de lo que el jugador realmente tiene en juego en cada set

Suponiendo un stack inicial de 10.000 puntos vemos lo que realmente tiene en juego cada jugador. Las 3 columnas por set son (existen 6 franjas debido a que en el tercer set cambian las apuestas según vayan 2-0 ó 1-1:

-La primera columna es el stack que tiene cada jugador al empezar el set. Suponemos que A siempre va por delante cuando no van empate (en primera ronda son los 10.000 iniciales pero en la final son 640.000 puntos cada uno-han tomado el stack de los 63 jugadores restantes de cada mitad del cuadro)

-La segunda columna es la apuesta. Cuando un jugador ha perdido 2 sets es como si fuese all-in porque el siguiente set perdido implica su eliminación. En cambio si el jugador no ha perdido sets o sólo 1 sólo está apostando una parte de su stack.

-La tercera columna sería el tamaño del pot, que siempre es la suma de lo apostado. A medida que avanzamos en un partido o en rondas el pot se va haciendo mayor y representa que hay más en juego



(Click en la imagen para ver la tabla completa)

Conclusiones:

Al margen de que es un tema curioso comparando el tenis con el póker heads up tenemos que:

-Si un jugador domina 2 sets a 0 equivale a una ventaja de 7 a 1 en fichas en póker

-Si un jugador domina 2 sets a 1 (o un set a cero si es al mejor de 3) equivale a una ventaja de 3 a 1

-Si un jugador domina 1 set a 0 al mejor de 5 es una ventaja de algo más de 2 a 1


En póker he visto que se tienden a hipervalorar las ventajas en fichas debido a que tenemos en mente las clasificaciones aritméticas (por ejemplo: la clasificación de la liga de fútbol o los puntos en baloncesto, donde una ventaja de 10 puntos puede ser importante aunque se vaya 70-60), pero en póker son geométricas las clasificaciones, donde realmente hay en juego más que puntos fracciones de chip counts totales.

Esto da a aceptar fórmulas falsas en los pactos por la tendencia a exagerar de los chip leaders del dinero que realmente les toca

Por otro lado se da una circunstancia curiosa. Suponiendo 2 jugadores exactamente iguales que jueguen a tenis. Si van 2-0 el jugador que va por delante vencería 7 de cada 8 partidos.

En cambio, si estos 2 jugadores estuviesen en el tiebreak del quinto set (aunque esto sólo se permite en el US Open) 6-4 el jugador que va por detrás debería ganar según esta fórmula p(1-p)0,5 ya que el sacador y el restador no tienen la misma probabilidad de ganar un punto. Si derivamos e igualamos a 0 queda que p=0,5 Con lo que la probabilidad de ganar sería igual a la anterior si p=0,5 ( es decir que sacar no importa) o menor aún si influye el saque a la hora de ganar un punto

Con lo cual en 2 jugadores exactamente iguales a nivel profesional es más fácil remontar un partido que vayan 2 sets a 0 abajo que 6-4 abajo en el tiebreak del quinto set.

Bookmark and Share

Comparte este articulo en Facebook, Twitter, MySpace...

lunes, 12 de octubre de 2009

Apuestas múltiples Lotería Primitiva



En otro artículo anterior vimos la probabilidad de acertar si hacíamos una apuesta sencilla en la lotería primitiva


En esta tabla tenemos las distintas probabilidades de acertar (1 entre el número que aparece en la casilla) para cada apuesta múltiple y cada premio.


Sacamos las siguientes conclusiones:


-Acertar 6 (el máximo premio) es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL a la apuesta. Si por ejemplo juego 9 números, que son 84 apuestas, tengo exactamente 84 veces más la probabilidad de acertar


-Acertar otro premio ES MENOS QUE DIRECTAMENTE PROPORCIONAL. Es decir, si juego 9 números, que son 84 apuestas, no tengo 84 veces más probabilidades de acertar 3 que si juego una apuesta sencilla. ¿ A qué es debido? A que estos treses estarán muchas veces para pagar cuando acierto premios superiores


-La esperanza matemática es la misma juegue como juegue. Es decir, tengo la misma EV en términos relativos juegue 1 apuesta sencilla, 462 apuestas sencillas o una múltiple de 11 de 462 apuestas. En todas a largo plazo pierdo el 45% de lo apostado (dejando al margen un jugador que juegue sólo cuando haya bote)


-A pesar de eso creo mejor jugar mayor número de sencillas que de múltiples por la agrupación de premios que hace más complicado rascar un premio. Por ejemplo, si yo propongo un juego, haces 1 apuesta de 1 euro y hay 2 millones de números. Cual de estos 2 juegos escogerías:


  1. Hay solo 1 número acertante y te toca 1.100.000 euros
  2. Hay un número de premio gordo que te toca 1.000.000 euros y 50 premios pequeños de 2.000 euros


Los dos tienen la misma devolución (1.100.000 euros) que es el 55% (al igual que la prmitiva). No obstante, creo que a todo el mundo le gusta más la segunda opción



Hacer una múltiple tiende al caso a) mientras que hacer muchas sencillas tiende al caso b)



(Click en la imagen para ampliar)

Bookmark and Share

Comparte este articulo en Facebook, Twitter, MySpace...

sábado, 3 de octubre de 2009

Analizando: Sistema Copa


El sistema de competición por excelencia es el denominado sistema copa (single elimination en inglés). En él los rivales se emparejan de 2 en 2 y el derrotado es inelegible para vencer en el torneo (habitualmente queda eliminado, salvo los perdedores de las semifinales que se enfrentan en el llamado tercer y cuarto puesto en algunos torneos, rara vez para todos los puestos)


Este sistema es habitual jugarlo con una potencia de 2 (4,8,16,32,64,128…), en cada eliminatoria la mitad de los contendientes quedan eliminados. Si el número no coincide con alguno de los anteriores la forma óptima para solucionarlo (aunque es imperfecta) es coger el cuadro del número superior y dejar tantos exentos (rivales blancos) como falten para dicho número, y dejarlos lo más repartido en el cuadro.


Por ejemplo: si hubieran 56 jugadores, se debería coger un cuadro de 64 y dejar 8 byes o rivales blancos repartidos uno en cada octavo de cuadro. Si son 40, se cogería igualmente el cuadro de 64 y se dejarían 24 exentos. Es ideal que a partir de la segunda ronda el número de participantes y hasta el final sea una potencia de 2


En la copa ideal hay pues 2^r participantes. El ganador vencerá exactamente r partidas y si el número de participantes es n se harán exactamente n-1 partidas en r rondas de partidas


La copa tiene a vox populi 2 defectos (para algunos la segunda no lo es):


-El sorteo es fundamental salvo que un contendiente sea muy superior a todos los demás (existen métodos como los cabezas de serie usado en tenis y una que veo especialmente atractiva que es la repesca usada en artes marciales)


-Una derrota deja inelegible para el título (en el método con repesca se podría quedar tercero incluso cayendo en primera ronda, pero nunca ganar)


Hagamos cálculos (vamos a suponer en esta primera tanda de artículos que el mejor jugador siempre gana):


-El mejor jugador (llamémosle A) siempre tendrá un rival inferior al suyo, con lo cual ganará el 100% de las veces. Como la copa es la forma más rápida de hacer un torneo, si en los enfrentamientos es de un juego/deporte donde el peor contendiente tiene pocas/nula probabilidad de ganar EL MODO COPA ES EL MÁS EFICIENTE PARA ESCOGER UN GANADOR


-El segundo mejor jugador (B) tendrá un rival inferior al suyo, salvo cuando se enfrente a A. Si A está en la otra mitad del cuadro B llegará a la final. Si A está en su mitad pero en el otro cuarto B llegará a la semifinal. Si A está en su cuarto de cuadro pero en el otro octavo B llegará a cuartos y así sucesivamente. En resumen B llega a la final  (n/2)/(n-1). Si el cuadro es de 4 llegará el 66,67% de las veces. Si el cuadro es de 8 el 57,14% de las veces. En el de 16 el 53,33%, el de 32 el 51,61% y en el de 64 el 50,79%.


Con lo cual, el segundo mejor jugador llegará algo más de la mitad de las veces (este número, incluso con miles de participantes siempre será superior al 50%). Es decir, mientras la copa garantiza que gane el mejor en la final no tienen porque estar los 2 mejores. Además B caerá en primera ronda 1/(n-1) de las veces. Un 33,33% en cuadro de 4 hasta un 1,59% en un cuadro de 64


-El tercer mejor jugador (C) llegará a la final cuando A y B estén en la otra mitad del cuadro que sucederá [(n/2)((n-1)/2)]/[(n-1)(n-2)]. Y esto casualmente que es la mitad de B. Llegará en un cuadro de 4 el 33,33% de las veces, en el de 8 el 28,57%, en el de 16 el 26,67%, y así sucesivamente. Este número será siempre mayor al 25%


-El último jugador que tendría opciones de llegar a la final sería el (n/2)+1. Es decir, en un cuadro de 16 la final la jugaría el mejor jugador contra uno que esté entre el segundo y el noveno mejor (aunque con diferentes probabilidades). El noveno sólo llegaría a la final cuando los ocho mejores estén en el otro lado del cuadro que sería 1 vez cada 6435 veces (1/Combin (15,8)).


Con lo cual el sistema copa es muy eficiente para escoger el ganador pero no para los demás puestos. Además B caerá en primera ronda 1/(n-1) de las veces, C 2/(n-1) de las veces y el penúltimo jugador en cuanto a categoría pasaría la primera ronda 1/(p-1) de las veces y acabaría en la mitad superior de los jugadores. La final además sólo algo más de 1 de cada 2 veces llegarían los mejores jugadores.


Además este es en el supuesto de que el mejor jugador siempre se imponga en el enfrentamiento, no he incluído aleatoriedad o posibilidad de sorpresa. Por ejemplo, en un torneo Heads Up de póker las posibilidades son muy distintas (en el foro hay un ejemplo)


Con lo cual en resumen vemos que el sistema copa tiene estas características:


-Es un sistema fácilmente entendible
-Es el sistema más corto con sólo n-1 partidas y r rondas (con n jugadores y n=2^r)
-Es un sistema que se enfoca en la búsqueda del ganador (poco enfoque a los puestos altos)
-No deja margen de error (suele verse como un defecto pero hay quien lo ve como una virtud)
-El sorteo de emparejamientos es clave


En próximos artículos veremos las principales alternativas que serán:


-Eliminatoria con repesca (ciertos derrotados compiten por quedar tercero), usado en artes marciales y una muy buena alternativa (existen 3 de hecho: sencilla, doble y de cuartos de final). En este sistema-salvo en el de cuartos de final- B siempre quedará segundo o tercero, pero nunca peor clasificado
-Doble eliminación: El contendiente queda eliminado a la segunda derrota. Son 2n-1 o 2n-2 partidas (según si el vencedor ha perdido una vez o no). B siempre quedará segundo pero C no tiene porque quedar tercero.
-Doble ko europeo (modified single elimination): El jugador puede perder la primera o la segunda partida. Queda eliminado en la segunda derrota o si pierde una partida a partir de la tercera. Son 1,75n-1 partidas y es un mixto entre la copa y el doble eliminación

Bookmark and Share

Comparte este articulo en Facebook, Twitter, MySpace...